Ảnh: Internet

Bài toán cân bằng véc tơ là một mô hình hợp nhất của rất nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá, như bài toán tối ưu véc tơ, bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù… (Giannessi, 2000). Chính vì vai trò quan trọng của bài toán này mà trong hơn hai thập kỷ qua, lớp bài toán này đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới. Cho đến nay, chủ đề về điều kiện tồn tại nghiệm cho lớp các bài toán này đã có nhiều kết quả hoàn chỉnh và đa dạng trong cách tiếp cận (Ansari, 2008; Chen et al., 2011). Chủ đề quan trọng kế tiếp chính là tính ổn định nghiệm của bài toán cân bằng, đây là một chủ đề được quan tâm trong những năm gần đây và có tốc độ phát triển rất nhanh. Từ các công trình đã công bố về tính ổn định nghiệm của bài toán cân bằng, cho thấy rằng có hai hướng tiếp cận chính cho chủ đề này, đó là tính ổn định định tính, như các dạng nửa liên tục/ liên tục theo nghĩa của Berge hoặc Hausdorff, sự đặt chỉnh (Lignola and Morgan, 2006; Lâm Quốc Anh và Nguyễn Văn Hưng, 2018; Lâm Quốc Anh et al., 2012), và tính ổn định định lượng như tính liên tục Lipschitz/Hö lder (Lâm Quốc Anh và Phan Quốc Khánh, 2009; Lâm Quốc Anh et al., 2012; Li and Li, 2011). Xuất phát từ việc đáp ứng các tình huống thực tế trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, y học, xã hội,… mô hình bài toán cân bằng hai mức đã được đề xuất và nghiên cứu trong thời gian gần đây. Trong các công trình Bao et al. (2007); Mordukhovich (2009), bằng cách sử dụng các công cụ của đối đạo hàm, các tác giả đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc cân bằng. Về sự đặt chỉnh cho các bài toán liên quan đến tối ưu với ràng buộc cân bằng như bài toán cân bằng Nash hai mức, bài toán tối ưu hóa với các ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng đã đạt được nhiều kết quả thú vị trong các bài báo Lignola and Morgan (2006); Lâm Quốc Anh et al. (2012), Lâm Quốc Anh và Nguyễn Văn Hưng (2018),… Cho đến nay, chưa tìm thấy công trình nào dành cho việc khảo sát tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm các bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số, với các tham số nhiễu được cho trong các không gian tham số.

Từ những quan sát trên, trong nghiên cứu này, chúng tôi đưa ra mục tiêu khảo sát các bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng có dữ liệu được nhiễu bởi các tham số. Bằng việc xem xét các tập nghiệm của các bài toán này như là các ánh xạ (đa trị) được cho trong các không gian chứa tham số, nghiên cứu này khảo sát các điều kiện ổn định định tính theo nghĩa nửa liên tục và tính đóng đối với ánh xạ nghiệm các bài toán đã được đề cập. Từ việc sử dụng các công cụ hữu hiệu của giải tích đa trị và giải tích lồi, bao gồm các điều kiện liên tục giảm nhẹ và tính lồi suy rộng, các kết quả đạt được là mới và đáp ứng mục tiêu đã được đề xuất.

Trong nghiên cứu này, bằng cách sử dụng các giả thiết liên quan đến tính đóng giảm nhẹ và dạng lồi suy rộng, tính nửa liên tục trên và tính đóng của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng phu thuộc vào tham số đã được nghiên cứu thành công. Do bài toán cân bằng là dạng tổng quát của nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá 1, nên các kết quả đạt được của bài báo có thể áp dụng để thiết lập điều kiện ổn định cho bài toán tối ưu hai mức, bài toán tối ưu có ràng buộc cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân hai mức,… Gần đây, việc nghiên cứu các mô hình tổng quát của bài toán cân bằng như bài toán bao hàm biến phân, bài toán quan hệ biến phân đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Do đó, những công cụ và cách tiếp cận đã được đề xuất trong bài báo này vẫn có thể áp dụng trong việc nghiên cứu điều kiện ổn định cho các lớp bài toán tổng quát vừa nêu.

ntdien